Rövid magyarázat (definíció)

A „bijekció” egy matematikai fogalom, amely egy olyan függvényt jelöl, amely mindkét irányban egyértelmű megfeleltetést biztosít két halmaz elemei között. Ez azt jelenti, hogy minden elem az egyik halmazból pontosan egy elemhez rendelhető a másik halmazban, és fordítva.

Eredet (etimológia)

A „bijekció” szó a latin „bi-” előtagból és a „jectio” szóból származik. A „bi-” jelentése kettő vagy kétszeres, míg a „jectio” a „jacio” igéből ered, ami azt jelenti, hogy dobni vagy vetni. Így a bijekció szó szerinti jelentése: kétszeres vetés vagy kétirányú megfeleltetés.

Kategória (szakterület, témakör)

A bijekció fogalma elsősorban a matematika területén használatos, különösen az algebra és az analízis ágaiban. Fontos szerepet játszik továbbá a kombinatorika és a topológia területein is.

Részletesebb magyarázat

Egy függvény akkor bijektív, ha egyszerre injektív (egy-egy értelmű) és szürjektív (minden elemhez rendel valamit). Az injektivitás biztosítja, hogy nincs két különböző elem az első halmazból, amely ugyanarra az elemre képezne le a második halmazban. A szürjektivitás pedig azt garantálja, hogy minden elem a második halmazban legalább egy elemhez van rendelve az első halmazból.

Matematikailag ezt így lehet kifejezni:
– Egy függvény f: A → B bijektív, ha ∀a₁,a₂ ∈ A esetén f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂ (injektivitás), és
– ∀b ∈ B esetén ∃a ∈ A úgy, hogy f(a) = b (szürjektivitás).

Szinonimák (rokon értelmű szavak)

– Egy-egyértelmű leképezés
– Kétirányú leképezés
– Bijection (angol)

Ellentétes jelentésű szavak (antonímák)

– Nem-bijektív függvény
– Nem-injektív függvény
– Nem-szürjektív függvény

Példamondatok

• A természetes számok és egész számok közötti bijekció bizonyítása nem triviális feladat.
• Egy bijekció létezése azt jelenti, hogy két halmaz elemeinek száma megegyezik.
• A matematika órán ma megtanultuk, hogyan lehet felismerni egy bijektív függvényt.

Használati területek (szakmai vagy köznyelvi használat)

A bijekció fogalma leginkább szakmai környezetben használatos, különösen matematikai kutatásokban és oktatásban. Azonban néha előfordulhat köznyelvi kontextusban is, például amikor valaki matematikai elveket magyaráz hétköznapi embereknek.

Kapcsolódó szavak

• Függvény
• Injekció
• Szürjekció
• Halmazelmélet
• Leképezés